ფიზიკა-მათემატიკისა და კომპიუტერულ მეცნიერებათა ფაკულტეტი

მათემატიკის დეპარტამენტი

მათემატიკამ განვითარების დიდი და საინტერესო გზა განვლო საქართველოში და, კერძოდ, მის უძველეს ქართულ მხარეში-აჭარაში. ბათუმში მოღვაწე მათემატიკოსთა სხვადასხვა თაობამ მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა ა. რაზმაძის, ნ. მუსხელიშვილის, ა. ხარაძის და გ. ნიკოლაძის მიერ დაფუძნებული, საქვეყნოდ აღიარებული ქართული მათემატიკური სკოლის შემდგომ განვითარებაში.

ქართული მათემატიკის ისტორიას ამშვენებს ქვეყნის სხვადასხვა მათემატიკური ცენტრების, მათ შორის ბათუმის სახელმწიფო პედაგოგიური ინსტიტუტისა და ბათუმის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მათემატიკოსთა მიღწევები.

თანამედროვე მათემატიკური კვლევების ბათუმში დაწყება უკავშირდება 1935 წელს, როცა ბათუმის სამასწავლებლო ინსტიტუტი დაარსდა, და 1945 წელს, როცა ამ სასწავლებლის ბაზაზე შეიქმნა პედაგოგიური ინსტიტუტი. ბათუმში მათემატიკური კვლევის ძირითად ცენტრად ითვლებოდა ალგებრა-გეომეტრიის, მათემატიკური ანალიზისა და მათემატიკის კათედრები, რომლებსაც სხვადასხვა პერიოდში ხელმძღვანელობდნენ ა. ბეგიაშვილი, ნ. ლომჯარია, შ. ქემხაძე, დ. ბალაძე და ე. ბალაძე.

შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტში 2005 წელს დაწყებულ სტრუქტურულ ცვლილებებს მოჰყვა მათემატიკის კათედრის ბაზაზე მათემატიკის დეპარტამენტის დაარსება, რომლის ხელმძღვანელად დაინიშნა ო. სურმანიძე. 2008 წლიდან დღემდე დეპარტამენტს ხელმძღვანელობს ვ. ბალაძე.

მათემატიკის დეპარტამენტი მართავს სასწავლო და სამეცნიერო პროცესებს მათემატიკურ და კომპიუტერულ მეცნიერებათა ფაკულტეტის მათემატიკისა და სტატისტიკის სპეციალობებზე და ახორციელებს მათემატიკის სწავლებას, როგორც ამ, ისე დანარჩენი ფაკულტეტების სხვადასხვა სპეციალობებზე.

მათემატიკის დეპარტამენტში მოქმედ სამ პროგრამულ მიმართულებას (გეომეტრია-ტოპოლოგია, ალგებრა-რიცხვთა თეორია-მათემატიკური ლოგიკა, მათემატიკური ანალიზი-სტატისტიკა) მიჰყავს საგანმანათლებლო პროგრამებით გათვალისწინებული სალექციო კურსები და სამეცნიერო კვლევები კლასიკური და თანამედროვე მათემატიკის სხვადასხვა დარგებში.

ბათუმის პედაგოგიური ინსტიტუტის წინაშე უდიდესი ღვაწლის მქონე პირველი თაობის მათემატიკოსების მხარდამხარ და მათ შემდგომ, ნაყოფიერად იღწვოდა მრავალი მათემატიკოსი: ალგებრაში- ზებური ავალიანი, რეზო ასათიანი, ომარი გივრაძე, ხემიდ დევაძე, იაშა დიასამიძე,შოთა მახარაძე, ნინო როყვა, რეზო ქათამაძე, შოთა ქემხაძე, ასლან ხახუტაიშვილი; გეომეტრიაში- ემზარ ბალაძე, ალექსანდრე ბერაძე, სელიმ ნიჟარაძე, გიორგი რუსეიშვილი; ტოპოლოგიაში- დურსუნ ბალაძე, ვლადიმერ ბალაძე, შალვა ბახტაძე, ანზორ ბერიძე, ლელა თურმანიძე, გიორგი კირთაძე, ონისე სურმანიძე, მაია ძაძამია, გივი ხუხუნაიშვილი; მათემატიკურ ანალიზსა და მის გამოყენებებში- ჯონი ბაბილოძე, მზევინარ ბაკურიძე, ანდრო ბეგიაშვილი, მიხეილ გადახაბაძე, ჯუმბერ დავითაძე, თემურ კოკობინაძე, ნიკოლოზ ლომჯარია, დალი მახარაძე, გივი ნოღაიდელი, ნინო სვანიძე, აკაკი ცივაძე, მერაბ ხაბაზი; მათემატიკის სწავლებასა და დაფუძნებაში - მერი გორდელაძე, მიხეილ გოხიძე, სილოვან დადუნაშვილი, დავით იშხნელიძე, ეთერი ტაკიძე, თამაზ წულუკიძე, ვლადიმერ ხალვაში.

მათემატიკის კათედრისა და მათემატიკის დეპარტამენტის პროფესორ-მასწავლებლები მნიშვნელოვან როლს ასრულებდნენ პედაგოგიური ინსტიტუტისა და უნივერსიტეტის მართვასა და განვითარებაში:
დ. ბალაძე- ბათუმის სახელმწიფო პედაგოგიური ინსტიტუტის რექტორი(1977-1990წწ), ბათუმის სახელმწიფო უნივერსიტეტის რექტორი (1990-1991წწ).
ვ. ბალაძე-შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტის რექტორი(2006-2007წწ), უნივერსიტეტის სასწავლო აკადემიური დეპარტამენტის დირექტორი- რექტორის მოადგილე (2005-2006წწ).
ა. ბერაძე- ბათუმის სახელმწიფო პედაგოგიური ინსტიტუტის პრორექტორი სასწავლო და სამეცნიერო დარგში (1957-1962წწ).
ი.დიასამიძე-შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტის აკადემიური საბჭოს წევრი 2006 წლიდან დღემდე.
ლ. თურმანიძე - შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ხარისხის უზრუნველყოფის სამსახურის ხელმძღვანელი 2007 წლიდან დღემდე.
შ. მახარაძე -შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ადმინისტრაციის ხელმძღვანელის მოვალეობის შემსრულებელი (2008წ), უნივერსიტეტის წარმომადგენლობითი საბჭოს წევრი 2006 წლიდან დღემდე.
ნ.როყვა-შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტის წარმომადგენლობითი საბჭოს წევრი 2009 წლიდან დღემდე.
ო. სურმანიძე-შოთა რუსთაველის სახელმწიფო უნივერსიტეტის აკადემიური საბჭოს წევრი (2006-2008წწ), გამოცდებისა და უნარ-ჩვევების შეფასების ცენტრის უფროსი 2008 წლიდან დღემდე.

გ.ხუხუნაიშვილი-ბათუმის პედაგოგიური ინსტიტუტის პრორექტორი სასწავლო და სამეცნიერო დარგში (1971-1979წწ).

ბათუმში მათემატიკის განვითარებაზე მნიშვნელოვანი ზეგავლენა მოახდინა მათემატიკის კათედრისა და დეპარტამენტის თანამშრომლობამ ჩვენი ქვეყნისა და უცხოეთის ცნობილ მათემატიკურ ცენტრებთან. ბათუმი ადრეც იყო და, განსაკუთრებით ახლა, არის სხვადასხვა მაშტაბური მათემატიკური ფორუმების-კონგრესების, კონფერენციებისა და სიმპოზიუმების ჩატარების ადგილი. ნაყოფიერი გამოდგა ბათუმელი მათემატიკოსების თანაშრომლობა ი. ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის, ა.რაზმაძის სახელობის თბილისის მათემატიკის ინსტიტუტის, ნ. მუსხელიშვილის სახელობის გამოთვლითი მათემატიკის ინსტიტუტის, ი. ვეკუას სახელობის გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტის და მოსკოვის, ლენინგრადის, კიევის, რიგისა და სხვა ქალაქების მათემატიკური ცენტრების მათემატიკოსებთან.

დღეს ბათუმი სავსებით სამართლიანად ითვლება ცნობილ მათემატიკურ ცენტრად, რაშიც განსაკუთრებული წვლილი მიუძღვით ხსენებული სამეცნიერო ცენტრების მათემატიკოსებს (პ. ალექსანდროვი, ს. ბახვალოვი, ნ. ბერიკაშვილი, ა. ბოგოლიუბოვი, ვ. ბოლტიანსკი, თ გეგელია, ა. გლაგოლევი, ნ. ეფიმოვი, ნ. ვახანია, ნ. ვეკუა, ი.კიღურაძე, ვ. კუპრაძე, ვ. კოკილაშვილი, ა. კუროში, ე. ლიაპინი, ლ. ზამბახიძე, პ. ზერაგია, ხ. ინასარიძე, გვ.მანია, ლ. მძინარიშვილი, ე. ნადარაია, ი. ნიკოლსკი, ბ. პლოტკინი, ი. სმირნოვი, ვ. ტარიელაძე, ა. შირშოვი, ს. ჩერნიკოვი, ე. წითლანაძე, ვ, ჭელიძე, გ. ჭოღოშვილი, ა. ხარაძე, ბ. ხვედელიძე, ლ. ჟიჟიაშვილი და სხვები).

განსაკუთრებით დიდია ქართული აბსტრაქტული მათემატიკური სკოლის ფუძემდებლის აკადემიკოს გ. ჭოღოშვილის ღვაწლი ბათუმის უნივერსიტეტის წინაშე. იგი ქართველი ერის საუკეთესო შვილებთან ერთად აქტიურად იბრძოდა ბათუმში მეორე ქართული უნივერსიტეტის დაარსებისთვის და განსაკუთრებით უსვამდა ხაზს ასეთი უნივივერსიტეტის მნიშვნელობას, როგორც ისტორიული საქართველოსთვის, ისე აჭარისთვის. თვითონ კი საქმით ქმნიდა რეალურ საფუძველს უნივერსიტეტის დაფუძნებისთვის. აკადემიკოს გ. ჭოღოშვილის სამეცნიერო სკოლაში აღიზარდა მრავალი მათემატიკოსი ჩვენი უნივერსიტისთვის. იგი, ამავე დროს, მუდმივ ყურადღებასა და მხარდაჭერას არ აკლებდა სხვა ბათუმელ მათემატიკოსებსაც, რომლებიც სხვადასხვა დროს სასწავლებლად მივლენილნი იყვნენ ჩვენი ქვეყნის თუ უცხოეთის საგანმანათლებლო დაწესებულებებში.

საყოველთაო აღიარებით, მათემატიკის კათედრას და მათემატიკის დეპარტამენტს მნიშვნელოვანი წვლილი მიუძღვის მათემატიკის მრავალი დარგის განვითარებასა და კვლევაში.

განსაკუთრებულ ადგილს იჭერს გამოკვლევები ტოპოლოგიაში. პირველი ტოპოლოგიური კვლევების ბათუმში დაწყება დაკავშირებულია გ. ხუხუნაიშვილისა და გ. კირთაძის სახელებთან. გ.ხუხუნაიშვილის მიერ გამოკვლეული იქნა ჰილბერტის სივრცის უწყვეტი ანასახები. მის მიერ მოიძებნა ის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს მეტრიკული სივრცე, რომ იგი იყოს ჰილბერტის სივრცის უწყვეტი ანასახი. მიღებული შედეგების საფუძველზე მის მიერ შესწავლილი იქნა ისეთ სიმრავლეთა ტოპოლოგიური თვისებები, რომლებზედაც შეიძლება ჰილბერტის სივრცის უწყვეტი ასახვა. გ. კირთაძე იკვლევდა ტოპოლოგიურ სივრცეთა სისრულის სხვადასხვა ნაირსახეობებს. მან შეისწავლა ტოპოლოგიურ სივრცეთა რეგულარულად და სავსებით რეგულარულად ჩაკეტილობის საკითხები და იპოვა ასახვათა ფართო კლასი, რომელიც ინარჩუნებს ასეთი ტიპის ჩაკეტილობებს.

მნიშვნელოვანი გამოკვლევები შესრულდა ჰომოლოგიის თეორიაში დ. ბალაძისა და მისი მოსწავლეების მიერ (შ. ბახტაძე, მ. ბურშტეინი, ზ. თოდუა). დ. ბალაძის უმნიშვნელოვანეს მიღწევას წარმოადგენს კომპლექსპარამეტრის მიმართ ტოპოლოგიურ სივრცეთა ჰომოლოგიების შემოტანა, რაც კოლმოგოროვის, ჭოღოშვილის, სტინროდის და სიტნიკოვის ჰომოლოგიების ძალიან შორს წასული განზოგადებაა. ეს ჰომოლოგიები სრულიად ახალი ინვარიანტებია, მაშინ როცა ზემოთ ჩამოთვლილი ჰომოლოგიები ჩეხის თეორიით გამოისახებიან. მისი მეორე მნიშვნელოვანი მიღწევაა სასრული და უსასრულო ჰომოლოგიების და კოჰომოლოგიების მანამდე მკაცრად ერთმანეთისაგან განსხვავებულ თეორიათა განზოგადება ერთ თეორიად, რომელიც კოეფიციენტთა ჯგუფების წყვილების მიმართაა აღებული. დ. ბალაძის მესამე საინტერესო მონაპოვარია სივრცის ჰომოლოგიისა და კოჰომოლოგიის თეორიები, რომლებიც კომპლექსთა ისეთ თეორიებს ეყრდნობა ლოკალურად სასრულო ქვეკომპლექსთა ჰომოლოგიური აპროქსიმაციით რომ მიიღებიან. ეს ჰომოლოგიური ჯგუფები წარმოადგენენ საინტერესო ინვარიანტებს. ისინი გზას უხსნიან შემდგომ გამოკვლევებს. სპექტრულ განხილვებთან დაკავშირებით საჭიროა აღინიშნოს დ. ბალაძის მიერ გამოყენებული კიდევ ერთი კონსტრუქცია, რომელიც იძლევა საშუალებას ლოკალურად სასრულო კომპლექსებიდან და ვარსკვლავურად სასრულო დაფარვებიდან ნებისმიერ უსასრულო კომპლექსებსა და დაფარვებზე გადასვლისათვის. მის მიერ აგებულ ჯგუფებისათვის დადგნილ სხვადასხვა უმნიშვნელოვანეს თვისებათა შორის საკმარისია აღინიშნოს ორადობის თეორემა, რომლიდანაც იმ კერძო შემთხვევაში, როცა კომპლექსპარამეტრი არის ტრიანგულირებული ნახევარწრფე, მიიღება სტირნოდ-სიტნიკოვის თეორემა. დ. ბალაძე აგრეთვე ინტენსიურად იკვლევდა კანონიკურ ჰომოლოგიებს და კოჰომოლოგიებს კოეფიციენტებით წინარე და კოწინარე კონებში. მას ალგებრულ ტოპოლოგიაში გამოქვეყნებული აქვს 50-ზე მეტი სამეცნიერო შრომა და მონოგრაფია ,,Исследование по теории гомологий (экстраординарные теории)“.

თვალსაჩნო სამეცნიერო და ორგანიზატორული მოღვაწეობისათის საქართველოს მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპოდენტი დ. ბალაძე შეტანილია ორ წიგნში: „გამოჩენილ ადამიანთა საერთაშორისო კატალოგი“ და „ხუთასი გამოჩენილი ლიდერი“, რომლებიც გამოსცა ამერიკის შეერთებული შტატების ბიოგრაფიის ინსტიტუტმა. ამასთან იგი კავალერია საუკუნის ყველაზე საპატიო ჯილდოსი- ბიოგრაფიის ინსტიტუტის 2000 წლეულის ღირსების მედლისა.

შ.ბახტაძის მიერ მიღებულია მნიშვნელოვანი შედეგები პროექციულ ჰომოლოგიის თეორიაში. კერძოდ, გამოკვლეულია კომპაქტურ ჰაუსდორფის სივრცეთა წყვილების დანაწილებებზე დაფუძნებული ჰომოლოგიის თეორია-ჭოღოშვილის ჰომოლოგიის თეორია. ამ მიმართულებით მიღებულ საინტერესო შედეგად ითვლება ჰაუსდორფის კომპაქტურ ტოპოლოგიურ სივრცეთა წყვილებთან ასოცირებულ ფუნდამენტურ კომპლექსთა წყვილების აგება და სპეციალური ჰომოლოგიების შემოტანა. მის მიერ დეტალურადაა შესწავლილი ფუნდამენტური კომპლექსის თვისებები ალგებრული ტოპოლოგიისა და ზოგადი ტოპოლოგიის თვალსაზრისით. დამტკიცებულია ამოსავალ სივრცეთა წყვილების ჰომოლოგიებისა და შესაბამის ფუნდამენტურ კომპლექსთა წყვილების სპეციალური ჰომოლოგიების იზომორფულობა კოეფიციენთა ნებისმიერი აბელური ჯგუფის მიმართ. აგებულია უშუალო იზომორფიზმი კომპაქტური მეტრიკული სივრცის პროექციულ ჰომოლოგიის ჯგუფებსა და სტრინროდის ჯგუფებს შორის, რითაც დასაბუთებულია ჭოღოშვილის მიერ შემოტანილი ჰომოლოგიური ჯგუფების უპირატესობა სტინროდის ჯგუფებთან შედარებით, სხვადასხვა გეომეტრიული თუ ტოპოლოგიური ობიექტების შესასწავლად მათი გამოყენების თვალსაზრისით. აგებულია პროექციული -ჰომოლოგიის თეორია და ჩატარებულია მისი აქსიომატური გამკვლევა სპექტრალური მიმდევრობების გამოყენებით. აღნიშნული შედეგების ანალოგიურად, ლოკალურად კომპაქტური პარაკომპაქტური სივრცეების წყვილებისა და მათი საკუთრივი ასახვების კატეგორიაზე აგებულია და შესწავლილი პროექციული ჰომოლოგიური და კოჰომოლოგიური ჯგუფები კოეფიციენტებით ჯგუფთა წყვილებში. ასეთ სივრცეთა წყვილებისათვის აგებულია განზოგადებულ ფუნდამენტურ კომპლექსთა წყვილები- ასოცირებული სივრცეთა ამოსავალ წყვილებთან და დაფუძნებული რეგულარულ დანაწილებებზე. შემოტანილია სპეციალური ჰომოლოგიისა და კოჰომოლოგიის ჯგუფების ცნებები კოეფიციენტებით ჯგუფთა წყვილებში. დამტკიცებულია ფუნდამენტურ კომპლექსთა წყვილისა და ამოსავალ სივრცეთა წყვილის ჰომოლოგიების იზომორფულობა. მიღებული შედეგების საფუძველზე დამტკიცებულია ორადობის თეორემები. შ.ბახტაძის ავტორობით გამოიცა წიგნი „მათემატიკა უმაღლეს სასწავლებელში შემსვლელთათვის“.

ვ.ბალაძის სამეცნიერო ინტერესების სფეროა ზოგადი ტოპოლოგია, ალგებრული ტოპოლოგია და გეომეტრიული ტოპოლოგია. მის გამოკვლევებში დასრულებული სახე მიიღო ტოპოლოგიის ახალმა მიმართულებებმა: ტოპოლოგიურ სივრცეთა კლასის მოდულით განზომილების თეორია, საკუთრივი შეიპური თეორია, ფიბრაციული შეიპური თეორია, პრეკომპაქტური შეიპური თეორია, კოშეიპური თეორია და კომპაქტიფიკაციათა (კო)ჰომოლოგიის თეორია.
ვ.ბალაძის შრომების პირველი ციკლი ეხება სივრცეთა კლასის მოდულით განზომილების თეორიას. მან გამოიკვლია მცირე ინდუქციური, დიდი ინდუქციური და დაფარვითი მოდულარული განზომილებები, რომლებიც წარმოადგენს განზომილების ტიპის ფუნქციებს და მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ კლასიკური განზომილების თეორიაში აღმოცენებული ამოცანების კვლევისას. დაადგინა მათი ძირითადი თვისებები და კავშირები კლასიკურ ინდუქციურ და ლებეგის განზომილებებთან, უწყვეტი ასახვის განზომილებასთან და ჯერადობასთან და, როგორც შედეგი, მიიღო დიდი ინდუქციური განზომილების აქსიომატური დახასიათება, სივრცეთა ლებეგის განზომილებებისა და უწყვეტი ასახვის განზომილების შესახებ მორიტას თეორემის განზოგადება, სივრცეთა ნაზრდების განზომილებებისა და კომბინატორული თვისებების დახასიათებანი, სივრცისა და ასახვის აპროქსიმაციული და ფაქტორიზაციული თეორემები.

ვ. ბალაძის შრომების მეორე ციკლში, რომელიც ეხება შეიპების თეორიის ახალ მიმართულებას- საკუთრივ შეიპურ თეორიას, განმარტებულია ლოკალურად კომპაქტური სივრცის საკუთრივი რეზოლვენტა და დამტკიცებულია მისი არსებობის თეორემა. სივრცის საკუთრივი რეზოლვენტის ცნება მიეკუთვნება შეიპების თეორიის მნიშვნელოვან ცნებათა ჯგუფს. მისი ერთ-ერთი მთავარი თვისება ისაა, რომ იგი ინდუცირებს სივრცის გაფართოებას ლოკალურად კომპაქტური პოლიედრების ჰომოტოპიური ტიპის მქონე სივრცეთა საკუთრივი ჰომოტოპიური ქვეკატეგორიის მიმართ. ეს შედეგი გახდა ლოკალურად კომპაქტურ სივრცეთა შეიპური თეორიის, ე. წ. საკუთრივი შეიპური თეორიის აგების საფუძველი. საკუთრივი შეიპური თეორია იძლევა სივრცეთა ბორსუკის, მარდეშიჩისა და მორიტას შეიპური კლასიფიკაციებისაგან განსხვავებულ შეიპურ კლასიფიკაციას. საკუთრივი შეიპური თეორიის მეთოდების გამოყენებით ავტორმა ააგო ლოკალურად კომპაქტური პოლიედრების ქვეკატეგორიაზე განსაზღვრული კოვარიანტული (კონტრავარიანტული) ფუნქტორების უწყვეტი და საკუთრივ შეიპურად ინვარიანტული გაგრძელებები, განავითარა საკუთრივი შეიპური განზომილების თეორია და დაამტკიცა ჰურევიჩისა და უაიტჰედის თეორემები საკუთრივ შეიპურ კატეგორიაში. გარდა ამისა, ბუნებრივი გარდაქმნების მეშვეობით მოგვცა საკუთრივი შეიპური მორფიზმებისა და საკუთრივი შეიპური თეორიის ალტერნატიული, მარტივი კატეგორიული აღწერა.

ვ. ბალაძის შრომების მესამე ციკლში, რომელიც ეხება ფიბრაციულ შეიპურ თეორიას, განვითარებულია უწყვეტ ასახვათა გეომეტრიული თეორია რეტრაქტების თეორიის თვალსაზრისით. მის მიერ განმარტებულია სხვადასხვა კლასის უწყვეტ ასახვათა აბსოლუტური (მიდამოებრივი) რეტრაქტები და აბსოლუტური (მიდამოებრივი) ექსტენზორები და დაგენილია მათი ძირითადი თვისებები. ეს თვისებები არსებით როლს თამაშობს უწყვეტ ასახვათა ფიბრაციული რეზოლვენტების არსებობის თეორემების დამტკიცებისას. უწყვეტ ასახვათა რეტრაქტების და ექსტენზორების გამოკვლევები უკავშირდება ა. დოლდის, გ.ნ. ნეპომნიაშჩისა და ი. მ. სმირნოვის, გ.ს.უნგარის, ტ.იაგასაკის, ი.მ. ჯეიმსის, ვ.ვ. ფედორჩუკისა და ა.ჩიგოგიძის შრომებს, რომლებშიც ასახვათა რეტრაქტები და ექსტენზორები შესწავლილი იყო ასახვათა საკმაოდ ვიწრო კლასებისათვის- ევკლიდური სივრცის ქვესივრცეების, მეტრიკული კომპაქტური სივრცეების და მეტრიკული სივრცეების ასახვების კლასებისათვის. ვ. ბალაძის შრომებში შეიქმნა ასახვათა რეტრაქტების ზოგადი თეორია და , მის საფუძველზე, ნებისმიერ უწყვეტ ასახვათა ფიბრაციული შეიპური თეორია, რომელიც წარმოადგენს ტ. იაგასაკის, ჰ. კატოს, მ. კლაპისა და ლ. მონტეჯანოს ფიბრაციული კომპაქტური და ფიბრაციული მეტრიკული შეიპური თეორიების შინაარსიან გაფართოებას. ტოპოლოგიურ სივრცეთა ნებისმიერი უწყვეტი ასახვის რეზოლვენტის და კომპაქტურ სივრცეთა უწყვეტი ასახვის კომპაქტური პოლიედრების უწყვეტი ასახვებით აპროქსიმაციის არსებობის თეორემები არის ამასთანავე დამოუკიდებელი მნიშვნელობის მქონე საინტერესო შედეგები. მათი გამოყენებანი მოიცავს უწყვეტ ასახვათა ფიბრაციულ შეიპურ კლასიფიკაციას, ფუნქტორების ფიბრაციულ, შეიპურად ინვარიანტულ გაგრძელებების აგებას, სივრცეთა უწყვეტი ასახვების კატეგორიიდან პრო- ჯგუფების გრძელი ზუსტი მიმდევრობების კატეგორიაში ფუნქტორების განსაზღვრას და ფიბრაციული შეიპური რეტრაქტების დახასიათებას.

თანაბარ შეიპურ თეორიასთან დაკავშირებულ შრომებში ვ. ბალაძე ავითარებს პრეკომპაქტურ თანაბარ სივრცეთა შეიპურ თეორიას, რომლის მეთოდები იძლევა სავსებით რეგულარულ სივრცეთა შინაგანი თვისებების მეშვეობით კომპაქტიფიკაციებისა და ნაზრდების შეიპების, (კო)ჰომოლოგიური და (კო)ჰომოტოპიური ჯგუფების დახასიათების საშუალებას. ამ ციკლის შრომებში ავტორმა გამოიკვლია ი.მ.სმირნოვის ცნობილი პრობლემა სივრცეთა კომპაქტიფიკაციებისა და მათი ნაზრდების ჰომოლოგიური, შეიპური და განზომილებისნაირი ინვარიანტების სივრცის შინაგან ტერმინებში დახასიათების შესახებ. ეს პრობლემა მრავალი ავტორის კვლევის ობექტი იყო, მას აქვს არატრივიალური ამოხსნა და იგი განსაკუთრებით რთულია იმ შემთხვევაში, როცა ტოპოლოგიური თვისებების როლში აღებულია სივრცის თვისება-ჰქონდეს მოცემული შეიპი, მოცემული (კო)ჰომოლოგიური ჯგუფი ან მოცემული (კო)ჰომოტოპიური ჯგუფი. პრობლემის შესწავლის მიზნით ვ.ბალაძის მიერ აგებული და გამოკვლეული იქნა სივრცეთა ახალი ალგებრული ინვარიანტები. კერძოდ, მის მიერ განვითარებული იქნა ალექსანდერ-სპანიერის თანაბარი კოჰომოლოგიური თეორია და საზღვრული (კო)ჰომოლოგიური თეორია. აგებული ფუნქტორები სივრცის შინაგანი თვისებების მეშვეობით შესაბამისად აღწერს კომპაქტიფიკაციების და მათი ნაზრდების ალექსანდერ-სპანიერის კლასიკურ კოჰომოლოგიურ ჯგუფებს და სასრულ დაფარვებზე დაყრდნობით განმარტებულ ჩეხის ტიპის ჯგუფებს. გარდა ამისა, ამ ციკლის შრომებში ავტორის მიერ მიღებულია შედეგები, რომლებშიც მოცემულია ის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომელთა შესრულების შემთხვევაში სივრცეს აქვს მოცემული შეიპი, მოცემული შეიპური რეტრაქტი ან ნაზრდი მოცემული შეიპით.

ვ.ბალაძის შრომების შემდეგ ციკლში განვითარებულია ტოპოლოგიურ სივრცეთა კოშეიპური თეორია. ამ თეორიის მნიშვნელობას და განვითარების აუცილებლობას ხაზს უსვამს მრავალი ცნობილი ავტორი (ა. დელიანუ, ე.დიდაკი, ი. ლისიცა, ტ.მიუატა, ს.ნოვაკი, ი.სმირნოვი, ჰ.ვ.ჰენი და სხვა). ვ.ბალაძემ დაწვრილებით შეისწავლა ნებისმიერი -კატეგორიის პირდაპირი სისტემების კატეგორიის ფაქტორ-კატეგორია inj - ; დაამტკიცა კატეგორიის ობიექტის კოგაფართოების არსებობის თეორემა; მოძებნა ის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომელთა შემთხვევაში მოცემული კატეგორიისა და მისი ქვეკატეგორიის წყვილისათვის არსებობს კოშეიპური კატეგორია, ე.წ. აბსტრაქტული კოშეიპური კატეგორია; დაადგინა ამ კატეგორიის მორფიზმების ეპიმორფულობის, მონომორფულობის და იზომორფულობის პირობები და გამოიკვლია კატეგორიის ობიექტების მიმდევრობების სიზუსტის საკითხები. მიღებული შედეგების მნიშვნელობას განსაზღვრავს ის ფაქტიც, რომ მათ საფუძველზე ავტორმა ააგო ტოპოლოგიური კოშეიპური კატეგორია და სასრული CW-კომპლექსების ქვეკატეგორიაზე განსაზღვრული კოვარიანტული (კონტრავარიანტული) ფუნქტორების კოშეიპურად ინვარიანტული და უწყვეტი გაგრძელებები; დაამტკიცა კოშეიპურ კატეგორიაში ჰურევიჩის თეორემა და სივრცეთა წყვილებისა და უწყვეტი ასახვების გრძელი ზუსტი (კო)ჰომოლოგიური და ჰომოტოპიური მიმდევრობების არსებობის თეორემები. აბსტრაქტული კოშეიპური კატეგორიის მნიშვნელობა განპირობებულია იმითაც, რომ მისი მეთოდების გამოყენებით შესაძლებელი გახდა ტოპოლოგიის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ამოცანის- „კარგი“ თვისებების მქონე ობიექტების ქვეკატეგორიაზე განსაზღვრული ფუნქტორების მომცველ კატეგორიაზე გაგრძელების ამოცანის გამოკვლევა. ამ მიმართულებით ავტორის მიერ მიღებული შედეგები ა. დოლდის, დ. კანის, ს.ნ.ლისა და ფ. რაიმონდის, ტ.ვატანაბეს, ს.მარდეშიჩისა და ჯ.სეგალის მიღწევებთან ერთად წარმოადგენს ამ ამოცანის შესწავლაში შეტანილ მნიშვნელოვან წვლილს.

ვ.ბალაძე არის 60-ზე მეტი შრომის ავტორი.ბევრი მათგანი დაიბეჭდა უცხოურ მათემატიკურ ჟურნალებში, მათ შორის ისეთ ცნობილ ჟურნალში როგორიცაა “Topology and its applications” (2004 წ., 2009 წ.). მიღებული შედეგების შესახებ მოხსენებებით გამოვიდა 20-მდე საერთაშორისო მათემატიკურ ფორუმზე.
ვ. ბალაძის მოსწავლეების (ვ. აბუსერიძე, ა.ბერიძე, ლ.თურმანიძე, გ.ივანაძე, მ.ძაძამია) შრომებში გრძელდება ხსენებულ მიმართულებათა კვლევა და შემდგომი განვითარება.

მ.ძაძამიას შრომებში განვითარებულია კომპაქტურ გარდაქმნათა ჯგუფების გეომეტრიული თეორია. მის მიერ შესწავლილია -სივრცეები, ანუ ტოპოლოგიური -ჯგუფის უწყვეტი მოქმედების მქონე ტოპოლოგიური სივრცეები, რეტრაქტებისა და შეიპების თეორიების თვალსაზრისით. მოცემულია -სივრცეთა სხვადასხვა კლასების მიმართ აბსოლუტური (მიდამოებრივი) რეტრაქტების და ექსტენზორების განმარტებანი და დადგენილია მათი ძირითადი თვისებები (თეორემები ექსტენზორების ნამრავლის შესახებ, რეტრაქტებსა და ექსტენზორებს შორის დამოკიდებულებანი, თეორემები ექვივარიანტული ჰომოტოპიის გავრცელების შესახებ, ფაქტორიზაციული თეორემები, აპროქსიმაციული თეორემა). მიღებული შედეგების გამოყენებანი მოიცავენ ექვივარიანტული შეიპური რეტრაქტების და ფიბრაციების დახასიათებებს, ი.მ.სმირნოვის მეტრიკული და კომპაქტური ექვივარიანტული შეიპური თეორიების გაფართოებების აგებებს და გამოკვლევებს ნებისმიერ G-სივრცეთა წყვილების კატეგორიაზე. აბსოლუტური მიდამოებრივი ექვივარიანტული რეტრაქტების წყვილების ქვეკატეგორიაზე განსაზღვრული ფუნქტორების გაგრძელებების აგებებს ნებისმიერ -სივრცეთა წყვილების კატეგორიაზე.

ლ.თურმანიძის შრომებში განვითარებულია თანაბარ სივრცეთა შეიპური თეორია. განმარტებულია პრეკომპაქტურ სივრცეთა თანაბარი ასახვის შეიპის ცნება და აგებულია მისი ჩეხის შებრუნებული სისტემა. დამტკიცებულია ჰომოლოგიური პრო-ჯგუფების გრძელი ზუსტი მიმდევრობისა და პრეკომპაქტურ სივრცეთა თანაბარი ასახვის გრძელი ზუსტი ჰომოლოგიური მიმდევრობის არსებობის თეორემები. დადგენილია დამოკიდებულებანი ფ. ბაუერის ტოპოლოგიურ ძლიერ შეიპურ და თანაბარ ძლიერ შეიპურ თეორიებს შორის. ნაჩვენებია,რომ თანაბარ სივრცეთა წყვილებს და მათ გასრულებებს გააჩნიათ ერთი და იგივე თანაბარი შეიპები. აგებულია ANRU - სივრცეთა, პრეკომპაქტურ ANRU- სივრცეთა და სასრულ განზომილებიან თანაბარ პოლიედრთა ქვეკატეგორიებზე განსაზღვრული კოვარიანტული (კონტრავარიანტული) ფუნქტორების ჩეხის ტიპის, თანაბარ ძლიერ შეიპურად ინვარიანტული და უწყვეტი გაგრძელებები. ნაჩვენებია, რომ ფუნქტორების განმარტებული გაგრძელებები ღებულობს ერთი და იგივე მნიშვნელობებს თანაბარ სივრცეთა წყვილებზე და მათ გასრულებებზე.

ა.ბერიძის შრომებში განმარტებულია და აქსიომატიკური თვალსაზრისით გამოკვლეულია ალექსანდერ-სპანიერის კოჰომოლოგიური ფუნქტორის ნაირსახეობები, ე.წ. სასრულოდ განსაზღვრული ალექსანდერ-სპანიერის კოჰომოლოგიური ფუნქტორი, კომპაქტურ მატარებლიანი სასრულოდ განსაზღვრული ალექსანდერ-სპანიერის კოჰომოლოგიური ფუნქტორი, ნაწილობრივ უწყვეტი სასრულოდ განსაზღვრული ალექსანდერ-სპანიერის კოჰომოლოგიური ფუნქტორი და კომპაქტურ მატარებლიანი ნაწილობრივ უწყვეტი ალექსანდერ-სპანიერის კოჰომოლოგიური ფუნქტორი; დადგენილია აგებული ფუნქტორების სხვადასხვა თვისებები და ნაპოვნია კავშირები მათ და კლასიკურ კოჰომოლოგიურ ფუნქტორებს შორის, გადმოცემული სტინროდ-ეილენბერგის აქსიომებისა და იზომორფიზმების ტერმინებში. გარდა ამისა, გამოკვლეულია ვ. ბალაძისა და ი.მ. სმირნოვის ამოცანები, რომლებიც ეხება გაფართოებათა თეორიის პრობლემებს. კერძოდ, მოძებნილია აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომელთათვისაც სავსებით რეგულარული სივრცის რეალკომპაქტიფიკაციის ნაზრდს გააჩნია მოცემული ჯგუფის იზომორფული ალექსანდერ-სპანიერის ტიპის კოჰომოლოგიური ჯგუფი.

ტოპოლოგიური ალგებრისა და ჯგუფთა თეორიის პრობლემებს იკვლევს ო. სურმანიძე. ამ მიმართულებით მიღებულ მნიშვნელოვან შედეგებად ითვლება დისკრეტული ჯგუფებისათვის ცნობილი კლასიკური შედეგების (საბაზისო ქვეჯგუფის ცნება, ჯგუფის წარმოდგენა მოცემული ჯგუფების პირდაპირ ჯამად, გაყოფადობისა და რედუცირებულობის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, პერიოდულობა, გრეხის გარეშე ელემენტების მქონე ჯგუფების თვისებები და ა.შ) გადატანა კომუტაციურ ტოპოლოგიურ ჯგუფებში, ისე რომ დისკრეტული ტოპოლოგიის შემთხვევაში ისინი ცნობილ კლასიკურ შედეგებად რჩებიან. ო. სურმანიძის მიერ დამტკიცებულია ლ. პონტრიაგინის მიერ ლოკალურად კომპაქტური კომუტაციური ჯგუფებისათვის აგებული მახასიათებელთა თეორიისა და კლასიკური ორადობის თეორიის თეორემების ანალოგები. კერძოდ, სუსტად წრფივი კომპაქტური ტოპოლოგიური კომუტაციური ჯგუფებისათვის განზოგადოებულია ორადობის კლასიკური თეორია იმის გათვალისწინებით, რომ ჯგუფთა აღნიშნული კლასი ტოპოლოგიის გარეშე, მთლიანად მოიცავს ტოპოლოგიის გარეშე აღებულ კომპაქტურ კომუტაციურ ჯგუფთა კლასს. წრფივად დისკრეტულ ტოპოლოგიური ჯგუფების თვისებებისა და მახასიათებელთა თეორიის გამოყენებით მიღებულია წრფივად კომპაქტური ტოპოლოგიური ჯგუფების ალგებრული დახასიათებანი. გამოკვლეულია სხვადასხვა ტოპოლოგიური სტრუქტურების მქონე ლოკალურად კომპაქტური კომუტაციური ჯგუფები.

საქართველოში, და კერძოდ ბათუმში, გეომეტრიული კვლევები ძირითადად მიმდინარეობდა კლასიკური გეომეტრიის სხვადასხვა მიმართულებებში. მათ განვითარებაში მნიშვნელოვანი წვლილი მიუძღვით ე. ბალაძეს, ა. ბერაძეს, ს. ნიჟარაძეს და გ. რუსეიშვილს.


უკან

საკონტაქტო ინფორმაცია

საქართველო, ბათუმი, 6010
ნინოშვილის/რუსთაველის ქ. 35/32
ტელ: +995(422) 27–17–80
ფაქსი: +995(422) 27–17–87
ელ. ფოსტა: info@bsu.edu.ge
     

სიახლის გამოწერა